Replikasi Signal dengan Menggunakan Metode Bootstrap

Replikasi Signal dengan Menggunakan Metode Bootstrap

Siana Halim
Fakultas Teknologi Industri
Universitas Kristen Petra, Surabaya
E-mail: halim@petra.ac.id

ABSTRAK

Signal dapat dimodelkan sebagai proses stokastik yang berperiode ataupun tidak berperiode. Untuk itu dalam mereplikasi sebuah signal, kita harus tetap menjaga karakter asli dari signal dan juga sifat keacakannya. Salah satu metode yang mungkin untuk dilakukan adalah bootstrap. Namun demikian, kita harus memodifikasi metode bootrap ini untuk mengakomodasi sifat ketergantungan dari series beserta periodisitasnya. Sebagai langkah awal dalam bootstrap ini diperlukan uji ada tidaknya periodisitas dalam signal. Diberikan dua metode untuk mendeteksi periodisitas, yaitu Fisher statistik dan Chiu statistik dan
sebuah ilustrasi dengan menggunakan data simulasi untuk menguji dan mereplikasi sebuah signal.
Kata kunci: bootstrap, periodogram, fisher statistic

PENDAHULUAN

Bootstrap merupakan alat bantu umum (general tool) yang biasa digunakan untuk mencari pendekatan
dalam distribusi statistik yang dikehendaki. Bootstra mengantikan atau bahkan seringkali memperbaiki
hasil yang diperoleh berdasarkan analisa asymptotic secara klasik, terutama untuk data sampel yang
berukuran kecil sampai menengah. Beberapa aplikasi yang menggunakan teknik bootstrap ini adalah untuk membandingkan dua random signal ataupun dua buah gambar random yang tidak bersih (noisy image) satu terhadap yang lain. Fanke dan Halim [1], menerapkan aplikasi ini untuk mendeteksi kerusakan pada texture. Pada makalah ini akan digunakan teknik Bootstrap untuk mereplikasi signal yang
memiliki sifat periodisitas. Halim [2] menggunakan teknik ini untuk mensintesa texture yang memiliki
sifat semiregular, yaitu texture yang memiliki sifat random dan regularitas didalamnya.
Untuk mereplikasi signal yang memiliki sifat periodisitas ini diperlukan tiga langkah, yaitu
mendeteksi posisi periodisitas dari signal tersebut, mengujinya serta melakukan bootstrap sampling
untuk data yang berperiodik. Langkah-langkah tersebut akan dijelaskan pada subbab-subbab berikut

MENDETEKSI PERIODISITAS YANG
TERSEMBUNYI

Pada dasarnya sebuah signal dapat kita modelkan sebagai fungsi periodik dari random variable yang
mengandung error yang stasioner [3], yaitu Xt = f(t) + εt (1) dimana X1,…,XN adalah variable random dan f(t+T) = f(t), t = 1,…,N dan T adalah periodisitas, εt adalah proses stasioner. Sebuah proses stokastik dikatakan stasioner (lemah) bila • E(t) = μ• Var( εt) =σ2, σ < ∞ • Cov(εt+s, εt) = γs , s≠t
Untuk mendeteksi periodisitas Chiu [3] mendekatipersamaan (1) melalui fungsi regresi harmonik seperti
di bawah ini
Xt = μ + S(t) + εt , t = 1,…N (2)εt~ N (0, σ2)Σ== +KkS t Ak Cos k t1 ( ) ( ω φ ) (3)
Terdiri dari K gelombang sinusoidal pada frekuensi ωk ≠ 0 dengan amplitude Ak ≠ 0, phase φk. K dapat saja sama dengan nol, untuk mengantisipasi bias signal tidak mengandung periodisitas. Tanpa menghilangkan sifat keumuman, asumsikan μ = 0.



BOOTSTRAP UNTUK MEREPLIKASI
SIGNAL

Telah kita ketahui bahwa metode bootstrap yang diperkenalkan oleh Efron [6] dapat bekerja dengan baik untuk data independen. Sampling untuk random variable independent yang didasarkan pada bootstrap
x* = ( * * )2*x1 , x ,..., xn diperoleh dengan melakukan random sampling sebanyak n kali, dengan replacement, dari data aslinya. Misalkan, n = 7, bootstrap sampling yang kita peroleh bisa saja x* =( ) x5 ,x7 , x5 , x1, x4 , x1,x7 . Algoritma bootstrap untuk data independent dilakukan dengan membangkitkan
bilangan random secara diskret uniform dengan replacement, misalnya, I ~ dunif(N,n), dimana N adalah jumlah data original dan n adalah jumlah data yang akan kita bangkitkan secara Bootstrap. Data pada index bangkitan inilah yang akan menjadi data bootstrap. Namun demikian untuk melakukan resampling pada data yang memiliki ketergantungan dan periodisitas seperti pada signal, metode bootstrap ini haruslah

dimodifikasi. Jika kita menggunakan bootstrap untuk data independen pada data periodik maka data bootstrap ini akan kehilangan sifat aslinya. Hal ini tidak dikehendaki dalam resampling data. Salah satu metode yang akan diadaptasi pada makalah ini adalah metode bootstrap untuk data time series musiman [7]. Replikasi signal dengan metode bootstrap dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.
Pertama-tama partisilah sample dari signal menjadi blok dengan panjang T, sedemikian hingga kita mendapakan n = N/T. T adalah nilai periodisitas yang telah kita dapatkan dan kita uji dengan
menggunakan metode di atas, dan x adalah nilai integer dari x. Algoritma untuk mereplikasi signal diberikan sebagai berikut :

Algoritma 1: Bootstrap untuk mereplikasi signal
• Misalkan k adalah jumlah blok bootstrap yang
hendak dibangun
• Bangkitkan b0,…,bk-1 random uniform pada himpunan
{0,…,n-1}
• Data bootstrap X1
*, X2
*, … , Xkn
* dapat dibangun dari sample mula–mula (original sample) sedemikian
Hingga * *X mT + j = X bmT + j (13) dimana m = {0,…,k-1} dan j ={1,…,nk}

KESIMPULAN

Pada makalah ini telah dipaparkan statistik untuk mendeteksi keberadaan periodisitas pada signal. Nilai
periodisitas yang diperoleh pada langkah awal tadi akan digunakan untuk membangun blok pada signal.
Blok inilah yang akan digunakan dalam membangun bootstrap untuk membentuk signal replikasi dari signal aslinya. Signal tiruan ini tetap memiliki karakteristik dari signal asli serta memiliki karakter
keacakan.















DAFTAR PUSTAKA

[1] J. Franke, S. Halim: “Wild bootstrap tests for
signals and images”. IEEE Signal Processing
Magazine 24, no. 4, 2007.

[2] S. Halim: Spatially adaptive detection of local
disturbances in time series and stochastic
processes on the integer lattice Z2. PhD Thesis.
University of Kaiserlautern , 2005.

[3] S. T. Chiu. “Detecting periodic components in a
white Gaussian time series”. Journal of Royal
Statistics Society series B, 51,2:249–259, 1989.

[4] M. Shimshoni. “On fisher’s test of significance in
harmonic analysis”. Geophys. J.R.Astronom.
Society, 23:373–377, 1971.

[5] E. Lewis and N. Fieller. ”A recursive algorithm
for null distributions for outliers: I. gamma
samples”. Technometrics, 21:371–376, 1979.

[6] B. Efron and R. J. Tibshirani. An Introduction to
the Bootstrap. Chapman & Hall, New York,
1993.

[7] D. N. Politis. Resampling time series with
seasonal components. Website, 2001. http://www.
galaxy.gmu.edu/interface/I01/I2001Proceedings/
DPolitis/DPolitis.pdf.